Velocidad orbital y energía de un satélite: ejercicio tipo PAU resuelto

Física 2.º Bachillerato

En esta pieza resolvemos paso a paso un problema tipo PAU de campo gravitatorio: calcular el radio de la órbita geoestacionaria, la velocidad del satélite y su energía mecánica. Es del bloque 3 (movimiento orbital) de Física 2.º de Bachillerato; necesitas tener claros la ley de la gravitación universal y el movimiento circular uniforme.

Lo que necesitas saber

Un satélite en órbita circular se mantiene en ella porque la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. Igualando las dos expresiones:

\frac{GM_T m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}

Cancelamos m y una potencia de r:

\frac{GM_T}{r} = v^2 \implies \boxed{v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}}}

Como en una órbita circular la velocidad también se puede escribir como v = 2\pi r/T, sustituyendo y despejando r:

\frac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{GM_T}{r}} \implies \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM_T}{r} \implies \boxed{r^3 = \frac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}}

Esta es la tercera ley de Kepler para órbitas circulares.

La energía mecánica del satélite es la suma de la cinética y la potencial:

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\cdot\frac{GM_T}{r} = \frac{GM_T m}{2r}

E_p = -\frac{GM_T m}{r}

\boxed{E_m = E_c + E_p = \frac{GM_T m}{2r} - \frac{GM_T m}{r} = -\frac{GM_T m}{2r}}

El signo negativo confirma que el satélite está ligado a la Tierra: tiene menos energía que si estuviera en reposo en el infinito.

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Ejercicio. El satélite Meteosat

(PAU Andalucía 2013, reserva)

Los satélites Meteosat, desarrollados por la Agencia Espacial Europea (ESA), están colocados en órbita geoestacionaria: orbitan a la misma velocidad angular que la Tierra y siempre apuntan al mismo punto de la superficie. Esto significa que su periodo orbital es exactamente de 24 horas.

a) Determina razonadamente la distancia del satélite al centro de la Tierra y la altura sobre la superficie terrestre.

b) Sabiendo que la masa del satélite es 2\,000\ \text{kg}, calcula su energía mecánica en la órbita. Razona si hay que aportar energía para mantenerlo en órbita.

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}   R_T = 6\,370\ \text{km}   M_T = 6\cdot10^{24}\ \text{kg}

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2} \qquad M_T = 6\cdot10^{24}\ \text{kg} \qquad R_T = 6{,}37\cdot10^6\ \text{m}

T = 24\ \text{h} = 24 \cdot 3600\ \text{s} = 86\,400\ \text{s} \qquad m = 2\,000\ \text{kg}

r^3 = \frac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}

r^3 = \frac{\textcolor{#c4130d}{6{,}67\cdot10^{-11}} \cdot 6\cdot10^{24} \cdot (86\,400)^2}{4\pi^2}

6{,}67\cdot10^{-11} \cdot 6\cdot10^{24} = 4{,}00\cdot10^{14}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-1}

(86\,400)^2 = 7{,}46\cdot10^9\ \text{s}^2

\text{Numerador} = 4{,}00\cdot10^{14} \cdot 7{,}46\cdot10^9 = \textcolor{#c4130d}{2{,}98\cdot10^{24}}\ \text{m}^3\ \text{s}^{-2} \cdot \text{s}^2

r^3 = \frac{2{,}98\cdot10^{24}}{39{,}48} = 7{,}55\cdot10^{22}\ \text{m}^3

\boxed{r = \sqrt[3]{7{,}55\cdot10^{22}} = 4{,}23\cdot10^7\ \text{m}}

h = r - R_T = 4{,}23\cdot10^7 - 6{,}37\cdot10^6 = \boxed{3{,}59\cdot10^7\ \text{m} \approx 35\,900\ \text{km}}

E_m = -\frac{GM_T\,m}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot10^{-11} \cdot 6\cdot10^{24} \cdot 2\,000}{2 \cdot 4{,}23\cdot10^7}

E_m = -\frac{\textcolor{#c4130d}{8{,}00\cdot10^{17}}}{8{,}46\cdot10^7} = \boxed{-9{,}46\cdot10^9\ \text{J}}

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Errores típicos que veo en clase

Confundir el radio de la órbita con la altura sobre la superficie. El radio r se mide desde el centro de la Tierra, no desde su superficie. La altura sobre la superficie es h = r - R_T. Si confundes los dos, los cálculos dan resultados absurdos: un satélite a 6 000 km sobre la superficie y uno a 6 000 km del centro son cosas completamente distintas. Antes de sustituir datos, dibuja el esquema: Tierra en el centro, satélite en la órbita, r y h bien distinguidos.

Los cambios de unidades (a segundos y a metros). En este tema conviven horas, kilómetros y días con segundos y metros. El Sistema Internacional usa metros y segundos; si introduces el período en horas o el radio en kilómetros, el resultado será incorrecto. Haz siempre la conversión en el bloque de Datos, antes de tocar ninguna fórmula:

T = 24\ \text{h} \cdot 3\,600\ \frac{\text{s}}{\text{h}} = 86\,400\ \text{s}

R_T = 6\,370\ \text{km} \cdot 10^3\ \frac{\text{m}}{\text{km}} = 6{,}37\cdot10^6\ \text{m}

Así el error no puede colarse.

Al elevar un satélite hasta su órbita, considerar que la energía cinética en el punto de lanzamiento es cero. Algunos alumnos aplican la conservación de la energía entre la superficie y la órbita y escriben E_{c,0} = 0 porque «el cohete está parado en el suelo». Pero si la energía cinética inicial fuera cero, el cohete no despega: necesita velocidad para subir. La energía cinética en el punto de lanzamiento corresponde a la velocidad inicial del propulsor, que nunca es cero. Solo podrías escribirla como cero si el enunciado dijera explícitamente que se lanza en reposo, algo que físicamente es imposible en un lanzamiento real.