Cómo descomponer un número en factores primos (1.º ESO)

Matemáticas 1.º ESO

Factorizar un número significa escribirlo como producto de números primos. Aquí aprendes a hacerlo paso a paso con el método de divisiones sucesivas, apoyándote en los criterios de divisibilidad del 2, 3, 5 y 9. Es un procedimiento mecánico que, una vez dominado, te permite calcular el MCD y el MCM de cualquier par de números. Necesitas saber cuáles son los primeros primos (2, 3, 5, 7, 11, 13…) y tener a punto los criterios de divisibilidad.

El método: divisiones sucesivas

Divides el número entre el primo más pequeño que lo divida, escribes el cociente debajo y repites hasta llegar a 1. Los números que van a la derecha son los factores primos.

Para elegir el divisor en cada paso, aplicas los criterios de divisibilidad:

• Por 2: el último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8.
• Por 3: la suma de los dígitos es divisible por 3.
• Por 5: el último dígito es 0 o 5.

El criterio del 9 (suma de dígitos divisible por 9) sirve de ayuda: si se cumple, sabes que el 3 dividirá al menos dos veces. Pero nunca divides por 9: 9 no es un número primo y no puede aparecer como factor en la descomposición.

Si ninguno de estos criterios se cumple, pruebas con 7, después con 11, con 13… hasta que el cociente sea un número primo: ese ya es el último factor.

Ejemplo: factoriza 60

\begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}

Los factores primos son los que aparecen a la derecha: 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5.

Cómo escribir el resultado con potencias

Cuando un primo aparece varias veces, lo agrupas como potencia. En el ejemplo:

60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5

Escribe siempre los primos de menor a mayor. Comprueba multiplicando: el resultado debe darte el número original.

Ejercicio 1. Factoriza 180

Descompón 180 en factores primos y escribe el resultado usando potencias.

\begin{array}{r|l} 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}

180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5

Ejercicio 2. Factoriza 525

Descompón 525 en factores primos y escribe el resultado usando potencias.

\begin{array}{r|l} 525 & 3 \\ 175 & 5 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}

525 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7

Ejercicio 3. Factoriza 264

Descompón 264 en factores primos y escribe el resultado usando potencias.

\begin{array}{r|l} 264 & 2 \\ 132 & 2 \\ 66 & 2 \\ 33 & 3 \\ 11 & 11 \\ 1 & \end{array}

264 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11

Ejercicio 4. Factoriza 975

Descompón 975 en factores primos y escribe el resultado usando potencias.

\begin{array}{r|l} 975 & 3 \\ 325 & 5 \\ 65 & 5 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array}

975 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13 = 3 \cdot 5^2 \cdot 13

Errores típicos que veo en clase

• No te aprendes los criterios de divisibilidad. Sin ellos, elegir el divisor en cada paso se convierte en tanteo a ciegas. Los del 2, 3, 5 y 9 son suficientes para casi cualquier número que aparezca en un examen. Memorízalos antes de practicar.

• Divides entre números que no son primos. Por ejemplo, dividir 264 entre 4 da 66 y parece que funciona, pero 4 no es primo y la factorización queda incompleta. Lo mismo ocurre con el 9: el criterio del 9 te avisa de que el 3 dividirá más de una vez, pero en la tabla siempre divides por 3 (que sí es primo), nunca por 9. El método solo funciona si el divisor de la derecha es siempre un número primo. Antes de anotar cada paso, confirma que el divisor es primo.

• Practicas la factorización pero no el MCD ni el MCM. La factorización es el camino, no el destino. Lo que aparece en los problemas de examen es el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Trabaja los tres procedimientos juntos para que el método te resulte útil de verdad.