Problemas de números naturales resueltos paso a paso (1.º ESO)

Datos:

• Nerea: 58 papeletas.
• Hugo: 17 papeletas más que Nerea.
• Irene: 24 papeletas menos que Hugo.

Qué me preguntan: el total de papeletas que han vendido entre los tres.

Operaciones. De Hugo y de Irene no te dan el número: tienes que calcularlo. «17 más que Nerea» es una suma y «24 menos que Hugo» es una resta. Cuidado con quién se compara con quién: Irene se compara con Hugo, no con Nerea.

\begin{aligned}
\text{Hugo:}\quad & \textcolor{#c4130d}{58 + 17} = 75 \text{ papeletas} \\
\text{Irene:}\quad & \textcolor{#c4130d}{75 - 24} = 51 \text{ papeletas} \\
\text{Total:}\quad & \textcolor{#c4130d}{58 + 75} + 51 \\
={}& \textcolor{#c4130d}{133 + 51} \\
={}& 184 \text{ papeletas}
\end{aligned}

Reflexión.

• ¿Tiene sentido mi respuesta? Hugo ha vendido más que Nerea (75 es mayor que 58) e Irene, menos que Hugo (51 es menor que 75), como dice el enunciado. El total, 184, es mayor que lo que ha vendido cada uno por separado, y así tiene que ser.
• ¿Es una respuesta lógica, que se ajusta a la realidad? Sí: unas 60 papeletas por persona es una cantidad normal para una feria de colegio. Además, el resultado es un número natural, porque no se venden trozos de papeleta.

Resultado: entre los tres han vendido 184 papeletas.

Datos:

• 14 estanterías.
• 6 baldas en cada estantería.
• 35 libros caben en cada balda.
• 2.385 libros hay ya colocados.

Qué me preguntan: cuántos libros más caben, es decir, cuántos huecos quedan libres.

Operaciones. Primero cuentas las baldas, después los libros que caben en total y al final restas los que ya hay:

\begin{aligned}
\text{Baldas:}\quad & \textcolor{#c4130d}{14 \cdot 6} = 84 \text{ baldas} \\
\text{Caben en total:}\quad & \textcolor{#c4130d}{84 \cdot 35} = 2.940 \text{ libros} \\
\text{Caben más:}\quad & \textcolor{#c4130d}{2.940 - 2.385} = 555 \text{ libros}
\end{aligned}

Reflexión.

• ¿Tiene sentido mi respuesta? Los libros que caben de más, 555, son bastantes menos que todos los que caben, 2.940. Si te hubiera salido un número mayor que el total, habrías sumado en lugar de restar.
• ¿Es una respuesta lógica, que se ajusta a la realidad? Sí: una biblioteca de instituto con unos 3.000 libros es razonable, y que esté casi llena pero con algunos cientos de huecos libres, también.

Resultado: caben 555 libros más.

Datos:

• 24 cajas compradas, a 9 € cada caja.
• 12 bandejas en cada caja.
• 18 bandejas estropeadas, que no se venden.
• 2 € es el precio de venta de cada bandeja.

Qué me preguntan: la ganancia, que es lo que ingresa por las ventas menos lo que le costó la fruta.

Operaciones.

\begin{aligned}
\text{Lo que paga:}\quad & \textcolor{#c4130d}{24 \cdot 9} = 216 \text{ euros} \\
\text{Bandejas compradas:}\quad & \textcolor{#c4130d}{24 \cdot 12} = 288 \text{ bandejas} \\
\text{Bandejas que vende:}\quad & \textcolor{#c4130d}{288 - 18} = 270 \text{ bandejas} \\
\text{Lo que ingresa:}\quad & \textcolor{#c4130d}{270 \cdot 2} = 540 \text{ euros} \\
\text{Ganancia:}\quad & \textcolor{#c4130d}{540 - 216} = 324 \text{ euros}
\end{aligned}

Las bandejas estropeadas no se venden, pero sí se pagaron: por eso el coste se calcula con las 24 cajas enteras.

Reflexión.

• ¿Tiene sentido mi respuesta? La ganancia, 324 €, es menor que lo que ingresa, 540 €: nadie puede ganar más de lo que cobra. Si te sale una ganancia mayor que los ingresos, has sumado el coste en lugar de restarlo.
• ¿Es una respuesta lógica, que se ajusta a la realidad? Sí: cada caja le cuesta 9 € y, si no se estropeara nada, la vendería por 12 \cdot 2 = 24 €. Una tienda compra barato y vende más caro, así que tiene que ganar dinero, aunque se le estropee algo de fruta.

Resultado: la frutería gana 324 €.

Datos:

• 340 botellas de agua.
• 24 botellas caben en cada nevera.

Qué me preguntan: tres cosas. El número de neveras llenas, las botellas que se quedan fuera y las neveras necesarias para meterlas todas.

Operaciones. Repartir las botellas en grupos iguales es una división. Aquí el resto importa, porque son las botellas que se quedan fuera:

340 : 24 \quad\Rightarrow\quad \text{cociente } 14,\ \text{resto } 4

• El cociente son las neveras llenas: 14.
• El resto son las botellas que se quedan fuera: 4.
• Para meter también esas 4 botellas hace falta una nevera más:

\textcolor{#c4130d}{14 + 1} = 15 \text{ neveras}

Reflexión.

• ¿Tiene sentido mi respuesta? El resto, 4, es menor que 24. Si fuera mayor, cabría otra nevera llena y la división estaría mal hecha. Además, 14 neveras llenas son 24 \cdot 14 = 336 botellas, y con las 4 de fuera se llega a las 340.
• ¿Es una respuesta lógica, que se ajusta a la realidad? Sí, y fíjate en la última pregunta: no se puede llevar «un trozo» de nevera. Aunque solo sobren 4 botellas, hace falta una nevera entera más, así que la respuesta es 15 y no 14.

Resultado: llena 14 neveras, se quedan fuera 4 botellas y necesita 15 neveras para que no sobre ninguna.

Datos:

• 1951 es el año en que nació la abuela.
• 58 años tenía la abuela cuando nació Daniel.
• 2026 es el año en que queremos saber las edades.

Qué me preguntan: el año en que nació Daniel y los años que cumplen él y su abuela en 2026.

Operaciones. Si a un año le sumas una cantidad de años, avanzas en el tiempo. Para saber cuántos años cumple alguien, restas el año de nacimiento al año en que estás:

\begin{aligned}
\text{Nace Daniel:}\quad & \textcolor{#c4130d}{1951 + 58} = 2009 \\
\text{Daniel en 2026:}\quad & \textcolor{#c4130d}{2026 - 2009} = 17 \text{ años} \\
\text{Abuela en 2026:}\quad & \textcolor{#c4130d}{2026 - 1951} = 75 \text{ años}
\end{aligned}

Reflexión.

• ¿Tiene sentido mi respuesta? Daniel nació después que su abuela (2009 es posterior a 1951) y es más joven que ella. La diferencia de edad entre dos personas no cambia nunca: en 2026 sigue siendo 75 - 17 = 58 años, la misma que cuando nació Daniel.
• ¿Es una respuesta lógica, que se ajusta a la realidad? Sí: una abuela de 75 años con un nieto de 17 es algo normal. Si te saliera un Daniel de 90 años, o nacido antes que su abuela, sabrías que algo has hecho mal.

Resultado: Daniel nació en 2009. En 2026, Daniel cumple 17 años y su abuela, 75.

Datos:

• El lunes saca 15 €.
• El miércoles mete 20 €.
• El viernes saca 12 €.
• Al final quedan 47 €.

Qué me preguntan: el dinero que había al principio, antes del lunes. Conoces el final y lo que pasó por el camino, así que tienes que ir hacia atrás.

Operaciones. Empieza por el final y deshaz cada movimiento con la operación contraria, del último al primero. Lo que sacó, lo vuelves a sumar; lo que metió, lo restas:

\begin{aligned}
\text{Antes del viernes (deshago: saca 12):}\quad & \textcolor{#c4130d}{47 + 12} = 59 \text{ euros} \\
\text{Antes del miércoles (deshago: mete 20):}\quad & \textcolor{#c4130d}{59 - 20} = 39 \text{ euros} \\
\text{Antes del lunes (deshago: saca 15):}\quad & \textcolor{#c4130d}{39 + 15} = 54 \text{ euros}
\end{aligned}

Reflexión.

• ¿Tiene sentido mi respuesta? En total, Lucía ha sacado 15 + 12 = 27 € y solo ha metido 20 €. Ha salido más dinero del que ha entrado, así que al principio tenía que tener más que al final: 54 € es más que 47 €.
• ¿Es una respuesta lógica, que se ajusta a la realidad? Sí: 54 € es una cantidad normal en la hucha de alguien de tu edad. Y si empiezas con 54 € y repites los movimientos del enunciado, llegas a los 47 € del final.

Resultado: antes del lunes, Lucía tenía 54 € en la hucha.