La tercera ley de Kepler relaciona el período orbital con el radio de la órbita, lo que te permite comparar cómo se mueven distintos satélites alrededor del mismo astro sin necesidad de conocer su velocidad. En estos dos ejercicios de PAU de Andalucía la aplicas para comparar períodos de dos satélites y para obtener la masa de Júpiter a partir del movimiento de sus lunas. Necesitas saber plantear la dinámica de una órbita circular (igualando fuerza gravitatoria y fuerza centrípeta) y manejar con soltura las unidades del SI.
Problema 1. Dos satélites alrededor de la Tierra
PAU Andalucía 2015, convocatoria de reserva.
Dos satélites A y B orbitan en órbitas circulares alrededor de la Tierra. El radio de la órbita de A es el doble que el de B. ¿Qué relación existe entre sus períodos orbitales?
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Esquema: el satélite A orbita a radio r_A = 2r y el satélite B a radio r_B = r, ambos alrededor de la Tierra.
La tercera ley de Kepler establece que, para dos cuerpos que orbitan el mismo astro central, el cociente T^2/r^3 es el mismo:
\frac{T_A^2}{r_A^3} = \frac{T_B^2}{r_B^3}Despejamos la relación de períodos:
\frac{T_A^2}{T_B^2} = \frac{r_A^3}{r_B^3} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = \left(\frac{2r}{r}\right)^3 = 2^3 = 8\frac{T_A}{T_B} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83Resultado: T_A = 2\sqrt{2}\, T_B \approx 2{,}83\, T_B
El satélite más alejado tarda casi el triple: una órbita más grande no solo tiene más distancia que recorrer, sino que el astro lo «arrastra» con menos fuerza y el satélite se mueve más despacio.
Problema 2. Los satélites de Júpiter: Ío y Europa
PAU Andalucía 2013, convocatoria de reserva.
El planeta Júpiter tiene varios satélites. El más próximo es Ío, que gira en una órbita de radio 4{,}216 \times 10^8\ \text{m} con un período de 1{,}53 \times 10^5\ \text{s}. El siguiente satélite es Europa, que gira a 6{,}70 \times 10^8\ \text{m} del centro de Júpiter.
a) Calcula la masa de Júpiter y el período de rotación de Europa.
b) Determina la velocidad de escape de Júpiter.
Datos: G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}; R_J = 7{,}15 \times 10^7\ \text{m}.
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Esquema: Ío orbita en círculo de radio r_\text{Ío} con período T_\text{Ío}; Europa orbita en círculo de radio r_E; el centro de ambas órbitas es Júpiter, de masa M_J y radio R_J.
Datos en el SI:
r_\text{Ío} = 4{,}216 \times 10^8\ \text{m}, \quad T_\text{Ío} = 1{,}53 \times 10^5\ \text{s}r_E = 6{,}70 \times 10^8\ \text{m}, \quad R_J = 7{,}15 \times 10^7\ \text{m}Apartado a)
Masa de Júpiter a partir del movimiento de Ío.
La fuerza gravitatoria de Júpiter sobre Ío es la que produce su aceleración centrípeta:
\frac{G M_J}{r_\text{Ío}^2} = \frac{4\pi^2 r_\text{Ío}}{T_\text{Ío}^2}Despejamos M_J:
M_J = \frac{4\pi^2\, r_\text{Ío}^3}{G\, T_\text{Ío}^2}Sustituimos:
M_J = \frac{4\pi^2 \times (4{,}216 \times 10^8)^3}{6{,}67 \times 10^{-11} \times (1{,}53 \times 10^5)^2} = \frac{2{,}958 \times 10^{27}}{1{,}561} = 1{,}90 \times 10^{27}\ \text{kg}Período de Europa mediante la tercera ley de Kepler.
Ío y Europa orbitan el mismo astro central, así que:
\frac{T_E^2}{T_\text{Ío}^2} = \frac{r_E^3}{r_\text{Ío}^3} \implies T_E = T_\text{Ío} \cdot \left(\frac{r_E}{r_\text{Ío}}\right)^{3/2}T_E = 1{,}53 \times 10^5 \times \left(\frac{6{,}70 \times 10^8}{4{,}216 \times 10^8}\right)^{3/2} = 1{,}53 \times 10^5 \times (1{,}589)^{3/2}T_E = 1{,}53 \times 10^5 \times 2{,}003 = 3{,}07 \times 10^5\ \text{s}Resultados del apartado a):
M_J = 1{,}90 \times 10^{27}\ \text{kg}, \qquad T_E = 3{,}07 \times 10^5\ \text{s}Apartado b)
Velocidad de escape de la superficie de Júpiter.
La velocidad de escape es la mínima para que un cuerpo abandone el campo gravitatorio de Júpiter desde su superficie. Se deduce igualando la energía mecánica total a cero:
\frac{1}{2}m v_e^2 - \frac{G M_J m}{R_J} = 0 \implies v_e = \sqrt{\frac{2 G M_J}{R_J}}Sustituimos:
v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}90 \times 10^{27}}{7{,}15 \times 10^7}} = \sqrt{3{,}55 \times 10^9} = 5{,}95 \times 10^4\ \text{m/s}Resultado: v_e = 5{,}95 \times 10^4\ \text{m/s} (unos 59,5 km/s, cinco veces la velocidad de escape terrestre).
Errores típicos que veo en clase
- Confundir el radio de la órbita con la altura sobre la superficie. El radio r en la tercera ley de Kepler —y en toda la dinámica orbital— se mide siempre desde el centro del astro, no desde su superficie. Si el enunciado te da la altura h, tienes que calcular r = R_\text{astro} + h antes de sustituir. En este problema los radios de Ío y Europa ya están dados desde el centro de Júpiter, pero no siempre es así.
- No pasar las unidades al SI. Introducir el período en horas o el radio en kilómetros en las fórmulas da resultados incorrectos. La tercera ley se cumple numéricamente solo cuando T está en segundos y r en metros. Antes de sustituir, convierte: 1\ \text{km} = 10^3\ \text{m}; 1\ \text{h} = 3600\ \text{s}.
- Confundir la velocidad orbital con la velocidad de escape. La velocidad orbital mantiene al satélite en una trayectoria circular cerrada a distancia constante del astro: es un MCU. La velocidad de escape es la mínima para que el cuerpo se aleje indefinidamente; el movimiento resultante es rectilíneo (MRUA). Son situaciones físicas distintas con fórmulas distintas: v_o = \sqrt{GM/r} para la órbita frente a v_e = \sqrt{2GM/R} para escapar desde la superficie. No las intercambies.
¿Quién te explica esto? Soy Pablo Santos, profesor de Matemáticas y Física en activo. Estos ejercicios salen de mis clases de cada día, con los errores que de verdad veo cometer a mis alumnos. Más sobre mí.
¿Eres docente? Además de dar clase, ayudo a otros profesores y a centros educativos a organizar su trabajo y a sacar partido a herramientas como iDoceo. Descubre cómo puedo ayudarte.
