Criterios de divisibilidad para 1.º ESO: 2, 3 y 5 con ejercicios resueltos

Matemáticas 1.º ESO

Con los criterios de divisibilidad puedes saber si un número es divisible por otro sin hacer la división. En 1.º de ESO los usarás constantemente para descomponer en factores primos y para calcular el MCM y el MCD. Solo necesitas saber sumar y restar cifras.

Los criterios de divisibilidad

Criterio del 2

Regla: un número es divisible por 2 si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8.

• 348 → última cifra 8 → divisible por 2
• 375 → última cifra 5 → no divisible por 2

Criterio del 3

Regla: un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

• 432 → 4 + 3 + 2 = 9, y 9 es divisible por 3 → divisible por 3
• 247 → 2 + 4 + 7 = 13, y 13 no es divisible por 3 → no divisible por 3

Criterio del 5

Regla: un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5.

• 315 → última cifra 5 → divisible por 5
• 432 → última cifra 2 → no divisible por 5

Ejercicio 1. Aplica los criterios

Para cada número, decide si es divisible por 2, 3 y 5. Escribe Sí o No en cada casilla antes de mirar la solución.

Ejercicio 2. Descomposición en factores primos

Descompón en factores primos los siguientes números:

a) 180   b) 525   c) 264   d) 975

Usa los criterios de divisibilidad para decidir por qué primo empiezas. Divide siempre por el primo más pequeño posible hasta llegar a 1.

\begin{aligned}
180 &\div 2 = \textcolor{#c4130d}{90}\\
\textcolor{#c4130d}{90} &\div 2 = \textcolor{#c4130d}{45}\\
\textcolor{#c4130d}{45} &\div 3 = \textcolor{#c4130d}{15}\\
\textcolor{#c4130d}{15} &\div 3 = \textcolor{#c4130d}{5}\\
\textcolor{#c4130d}{5} &\div 5 = 1
\end{aligned}

\boxed{180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5}

\begin{aligned}
525 &\div 3 = \textcolor{#c4130d}{175}\\
\textcolor{#c4130d}{175} &\div 5 = \textcolor{#c4130d}{35}\\
\textcolor{#c4130d}{35} &\div 5 = \textcolor{#c4130d}{7}\\
\textcolor{#c4130d}{7} &\div 7 = 1
\end{aligned}

\boxed{525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7}

\begin{aligned}
264 &\div 2 = \textcolor{#c4130d}{132}\\
\textcolor{#c4130d}{132} &\div 2 = \textcolor{#c4130d}{66}\\
\textcolor{#c4130d}{66} &\div 2 = \textcolor{#c4130d}{33}\\
\textcolor{#c4130d}{33} &\div 3 = \textcolor{#c4130d}{11}\\
\textcolor{#c4130d}{11} &\div 11 = 1
\end{aligned}

\boxed{264 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11}

\begin{aligned}
975 &\div 3 = \textcolor{#c4130d}{325}\\
\textcolor{#c4130d}{325} &\div 5 = \textcolor{#c4130d}{65}\\
\textcolor{#c4130d}{65} &\div 5 = \textcolor{#c4130d}{13}\\
\textcolor{#c4130d}{13} &\div 13 = 1
\end{aligned}

\boxed{975 = 3 \cdot 5^2 \cdot 13}

Ejercicio 3. MCM y MCD

Calcula el MCM y el MCD de los pares (36, 60) y (63, 84).

Reglas:

• MCD: toma los factores primos comunes, cada uno con el menor exponente.
• MCM: toma todos los factores primos (comunes y no comunes), cada uno con el mayor exponente.

36 = 2^2 \cdot 3^2 \qquad 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5

\text{MCD}(36,\,60) = \textcolor{#c4130d}{2^2 \cdot 3} = 4 \cdot 3 = \boxed{12}

\text{mcm}(36,\,60) = \textcolor{#c4130d}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5} = 4 \cdot 9 \cdot 5 = \boxed{180}

63 = 3^2 \cdot 7 \qquad 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7

\text{MCD}(63,\,84) = \textcolor{#c4130d}{3 \cdot 7} = \boxed{21}

\text{mcm}(63,\,84) = \textcolor{#c4130d}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7} = 4 \cdot 9 \cdot 7 = \boxed{252}

Problema 4. Tres faros en el mar

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada 45 segundos. En este momento se han encendido los tres a la vez.

a) ¿Cuántos segundos tardarán en coincidir encendidos de nuevo?

b) ¿Cuántas veces se habrá encendido cada faro hasta ese momento?

12 = 2^2 \cdot 3 \qquad 18 = 2 \cdot 3^2 \qquad 45 = 3^2 \cdot 5

\text{mcm}(12,\,18,\,45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = \boxed{180\ \text{s}}

\text{Faro 1 (12 s):} \quad \frac{180}{12} = \boxed{15\ \text{veces}}

\text{Faro 2 (18 s):} \quad \frac{180}{18} = \boxed{10\ \text{veces}}

\text{Faro 3 (45 s):} \quad \frac{180}{45} = \boxed{4\ \text{veces}}

Errores típicos que veo en clase

No estudiarse las reglas de divisibilidad. Los criterios son herramientas, no magia: si no los tienes en la cabeza, no puedes aplicarlos. Muchos alumnos llegan al examen sin haberlos memorizado y pierden tiempo intentando recordarlos o, peor, los aplican mal. El remedio es sencillo: estúdiate los criterios antes de hacer cualquier ejercicio. Una vez que los tienes, todo lo demás es mecánico.

Descomponer en factores primos usando divisores que no son primos. Un error muy frecuente es dividir por 4, por 6 o por 9 cuando descompones. Recuerda que 9 no es primo (9 = 3 × 3): si llegas a un número como 45, lo correcto es dividir entre 3 dos veces (45 ÷ 3 = 15, y luego 15 ÷ 3 = 5). La regla es siempre la misma: divide entre el primo más pequeño posible (2, 3, 5, 7, 11…), y solo entre primos.

No dedicar tiempo a estudiar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. El MCM y el MCD son los que aparecen en los problemas reales (faros, baldosas, ruedas…) y en los exámenes. Son la aplicación de todo lo anterior y exigen más pasos que los criterios solos. Muchos alumnos se centran en memorizar las reglas y no practican suficiente el MCM y el MCD. La solución: practica siempre los tres juntos, porque en el examen llegan combinados.