Entre dos masas siempre hay un punto en el que el campo gravitatorio total se anula. Encontrarlo es un clásico de la PAU de Física de 2.º de Bachillerato. Aquí aprenderás a justificarlo a partir del carácter vectorial del campo, a razonar en qué región está, a calcularlo de dos formas distintas para que elijas la que te resulte más cómoda y a descartar con argumentos la solución que no vale. Necesitas saber calcular el campo de una masa puntual y sumar vectores.
El campo gravitatorio es un vector
Antes de buscar ningún punto, tienes que tener claro qué es \vec g. La intensidad del campo gravitatorio es una magnitud vectorial. Para describirla no basta con un número: hay que dar su módulo, su dirección y su sentido. El campo que crea una masa puntual en un punto P tiene:
- módulo g = \dfrac{G\,m}{r^2}, donde r es la distancia de la masa a P;
- dirección, la de la recta que une la masa con P;
- sentido, desde P hacia la masa, porque la gravedad siempre atrae.
Cuando hay dos masas, el campo total en P es la suma vectorial de los dos (principio de superposición):
\vec g = \vec g_1 + \vec g_2
Qué significa que el campo sea nulo
Que el campo sea nulo en P significa que el vector suma es el vector cero:
\vec g_1 + \vec g_2 = \vec 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \vec g_1 = -\vec g_2
Fíjate en lo que dice esa igualdad. Ninguna de las dos masas deja de atraer en P: \vec g_1 y \vec g_2 siguen existiendo y ninguno es nulo. Lo que es nulo es su suma. Y \vec g_1 = -\vec g_2 es una igualdad entre vectores, así que obliga a tres cosas a la vez:
- la misma dirección: los dos vectores están sobre la misma recta;
- sentidos opuestos: uno apunta hacia un lado y el otro hacia el contrario;
- el mismo módulo: \dfrac{G\,m_1}{r_1^2} = \dfrac{G\,m_2}{r_2^2}.
La ecuación que resolverás es la tercera, pero esa sola no basta: dos vectores con el mismo módulo no tienen por qué anularse. Si apuntan en el mismo sentido, su suma mide el doble. Por eso, antes de igualar módulos, tienes que justificar que en la zona donde buscas se cumplen las condiciones 1 y 2.
Dónde buscarlo: las tres regiones
Fuera de la recta que une las masas, \vec g_1 y \vec g_2 apuntan hacia dos puntos distintos, así que no tienen la misma dirección y su suma nunca es cero. El punto, si existe, está sobre la recta.
Sobre la recta hay tres regiones. El enunciado no te da el punto: tienes que inventarte uno. Llámalo P, colócalo en cada región y dibuja desde P los dos campos, cada uno apuntando hacia la masa que lo crea:
Ahora escríbelo con vectores. Pon m_1 en el origen y m_2 en x = d, sobre el eje X, y llama P(x, 0) al punto:
- Región I (x < 0): los dos campos apuntan hacia la derecha.
\vec g = \left(\frac{G\,m_1}{x^2} + \frac{G\,m_2}{(d-x)^2}\right)\vec iEs una suma de dos números positivos por \vec i: nunca vale cero.
- Región III (x > d): los dos apuntan hacia la izquierda.
\vec g = -\left(\frac{G\,m_1}{x^2} + \frac{G\,m_2}{(x-d)^2}\right)\vec iTampoco puede anularse.
- Región II (0 < x < d): \vec g_1 apunta hacia la izquierda y \vec g_2 hacia la derecha.
\vec g = \left(-\frac{G\,m_1}{x^2} + \frac{G\,m_2}{(d-x)^2}\right)\vec iAquí sí: el paréntesis es una resta y puede valer cero.
Así que el punto está en la región II, y la condición \vec g = \vec 0 queda:
-\frac{G\,m_1}{x^2} + \frac{G\,m_2}{(d-x)^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{G\,m_1}{x^2} = \frac{G\,m_2}{(d-x)^2}Esta es la igualdad de módulos, pero ahora está justificada: sale de la ecuación vectorial en la única región donde los sentidos son opuestos. Además, el punto queda más cerca de la masa pequeña, porque la grande necesita más distancia para que su campo baje al mismo valor.
Mira siempre las tres regiones, no solo la de en medio. En gravitación el punto siempre sale entre las masas, pero eso lo demuestras precisamente mirando fuera. En otros campos no pasa lo mismo: en el eléctrico, con cargas de distinto signo, el punto está fuera.
Dos formas de resolver la ecuación
Una vez justificada la igualdad de módulos, elige:
- Método (a): ecuación de segundo grado. Quita denominadores, desarrolla y resuelve. Salen dos soluciones. Una de ellas tiene el mismo módulo para los dos campos, pero no anula el campo: hay que descartarla con un argumento vectorial, no porque «salga rara».
- Método (b): raíz cuadrada directa. Agrupa los dos cuadrados y haz la raíz de los dos miembros:
\frac{x}{d-x} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}Queda una ecuación de primer grado y una sola solución. Es más rápido, pero solo es correcto si antes has justificado que el punto está en la región II, porque al quedarte con la raíz positiva ya lo estás suponiendo.
Problema 1. Dos masas de 5 y 10 kg
PAU Andalucía 2014 (apartado a).
Dos masas puntuales de 5 y 10\ \text{kg}, respectivamente, están situadas en los puntos (0, 0) y (1, 0) m, respectivamente. Determine el punto entre las dos masas donde el campo gravitatorio es cero.
Ver solución
Región. Es el esquema de las tres regiones de arriba. Fuera de la recta que une las masas, y en las regiones I y III, los dos campos no pueden anularse. El punto está en la región II, 0 < x < 1\ \text{m}. El enunciado ya dice «entre las dos masas», pero en el examen justifícalo igualmente.
Ecuación vectorial. Los datos están en el SI. Sea P(x, 0) en la región II: está a x de la masa de 5\ \text{kg} y a 1 - x de la de 10\ \text{kg}. \vec g_1 apunta hacia la izquierda, hacia la masa de 5\ \text{kg}, y \vec g_2 hacia la derecha:
\vec g_1 = -\frac{G\cdot 5}{x^2}\,\vec i \qquad \vec g_2 = \frac{G\cdot 10}{(1-x)^2}\,\vec i\vec g_1 + \vec g_2 = \vec 0 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{G\cdot 5}{x^2} + \frac{G\cdot 10}{(1-x)^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{G\cdot 5}{x^2} = \frac{G\cdot 10}{(1-x)^2}Método (a). G se simplifica. Quitamos denominadores y desarrollamos:
\begin{aligned} 5\,(1-x)^2 &= 10\,x^2 \\ 5 - 10\,x + 5\,x^2 &= 10\,x^2 \\ x^2 + 2\,x - 1 &= 0 \end{aligned}x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = -1 \pm \sqrt2 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 0{,}414\ \text{m}, \qquad x_2 = -2{,}41\ \text{m}La solución x_2 = -2{,}41\ \text{m} no vale, y el motivo es vectorial. Cae en la región I, donde los dos campos apuntan hacia la derecha. La ecuación de módulos solo contiene x^2 y (1-x)^2, que no distinguen a qué lado de cada masa está el punto. Por eso también la cumple un punto de la región I, donde los dos módulos coinciden. Pero los vectores no se anulan, se suman:
\vec g_1 = 5{,}72\cdot10^{-11}\,\vec i\ \text{N/kg} \qquad \vec g_2 = 5{,}72\cdot10^{-11}\,\vec i\ \text{N/kg} \qquad \vec g = 1{,}14\cdot10^{-10}\,\vec i\ \text{N/kg} \neq \vec 0Es el ejemplo perfecto de que tener el mismo módulo no basta. Nos quedamos con x_1, que está entre las masas y más cerca de la de 5\ \text{kg}, como esperábamos.
Método (b). Hacemos la raíz cuadrada:
\frac{x}{1-x} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \frac{1}{\sqrt2} \quad\Rightarrow\quad \sqrt2\,x = 1 - x \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{1+\sqrt2} = 0{,}414\ \text{m}Sale directamente la solución buena, porque al escribir 1 - x y tomar la raíz positiva ya hemos supuesto que el punto está entre las masas.
Comprobación vectorial. En x = 0{,}414\ \text{m}:
\vec g_1 = -1{,}94\cdot10^{-9}\,\vec i\ \text{N/kg} \qquad \vec g_2 = 1{,}94\cdot10^{-9}\,\vec i\ \text{N/kg} \qquad \vec g = \vec g_1 + \vec g_2 = \vec 0Cada campo vale 1{,}94\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}, y aun así el campo total es nulo.
Resultado: el campo se anula en el punto (0{,}414;\ 0)\ \text{m}.
Problema 2. El punto de equilibrio entre la Tierra y la Luna
PAU Andalucía 2010 (apartado a).
La masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna y la distancia entre sus centros es 3{,}84\cdot10^5\ \text{km}. Calcule en qué punto, entre la Tierra y la Luna, se encontraría en equilibrio un meteorito de 200\ \text{kg}.
G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; M_L = 7{,}35\cdot10^{22}\ \text{kg}
Ver solución
Qué te piden en realidad. El meteorito está en equilibrio si la fuerza total sobre él es nula. Como \vec F = m\,\vec g, eso ocurre donde el campo total es nulo. La masa del meteorito no influye en el resultado, y para calcular el punto basta con la relación M_T = 81\,M_L. El dato de M_L solo lo usaremos para comprobar los vectores al final.
Unidades. La distancia viene en km:
d = 3{,}84\cdot10^5\ \text{km}\cdot\frac{10^3\ \text{m}}{1\ \text{km}} = 3{,}84\cdot10^8\ \text{m}Región. El razonamiento es el del problema 1: fuera de la recta Tierra-Luna, y en ella por fuera del segmento, los dos campos no pueden anularse. El punto está entre la Tierra y la Luna, y más cerca de la Luna, que es la masa pequeña.
Ecuación vectorial. Pon la Tierra en el origen y la Luna en x = d, sobre el eje X. En un punto P(x, 0) entre las dos, \vec g_T apunta hacia la Tierra (-\vec i) y \vec g_L hacia la Luna (+\vec i):
\vec g_T + \vec g_L = -\frac{G\,M_T}{x^2}\,\vec i + \frac{G\,M_L}{(d-x)^2}\,\vec i = \vec 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{G\,M_T}{x^2} = \frac{G\,M_L}{(d-x)^2}Con M_T = 81\,M_L, la G y la M_L se simplifican:
\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(d-x)^2}Método (b). Hacemos la raíz:
\frac{x}{d-x} = \sqrt{81} = 9 \quad\Rightarrow\quad x = 9\,(d - x) \quad\Rightarrow\quad x = \frac{9}{10}\,d = 0{,}9\cdot 3{,}84\cdot10^8 = 3{,}46\cdot10^8\ \text{m}Método (a). Si prefieres la ecuación de segundo grado, deja d como letra y sustituye al final:
81\,(d-x)^2 = x^2 \quad\Rightarrow\quad 80\,x^2 - 162\,d\,x + 81\,d^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{162 \pm 18}{160}\,dSalen x = 0{,}9\,d y x = 1{,}125\,d = 4{,}32\cdot10^8\ \text{m}. La segunda queda más allá de la Luna. Allí los módulos son iguales, pero los dos campos apuntan hacia la Tierra y se suman (con M_T = 81\cdot 7{,}35\cdot10^{22} = 5{,}95\cdot10^{24}\ \text{kg}):
\vec g_T = -2{,}13\cdot10^{-3}\,\vec i\ \text{N/kg} \qquad \vec g_L = -2{,}13\cdot10^{-3}\,\vec i\ \text{N/kg} \qquad \vec g = -4{,}26\cdot10^{-3}\,\vec i\ \text{N/kg} \neq \vec 0Se descarta.
Comprobación vectorial. En x = 3{,}46\cdot10^8\ \text{m}, cada campo vale 3{,}32\cdot10^{-3}\ \text{N/kg} y tienen sentidos opuestos:
\vec g_T = -3{,}32\cdot10^{-3}\,\vec i\ \text{N/kg} \qquad \vec g_L = 3{,}32\cdot10^{-3}\,\vec i\ \text{N/kg} \qquad \vec g = \vec 0Resultado: el meteorito estaría en equilibrio a 3{,}46\cdot10^8\ \text{m} del centro de la Tierra, es decir, a 3{,}84\cdot10^7\ \text{m} del centro de la Luna.
Problema 3. El problema al revés: hallar la relación entre las masas
PAU Andalucía 2025, convocatoria de reserva.
Una masa puntual está situada en el punto A(0, d) y otra masa en el punto B(0, −4d). Deduzca razonadamente la relación entre los valores de las masas para que el campo gravitatorio se anule en el origen.
Ver solución
Esquema. Ahora el punto ya lo conoces: es el origen O. Dibuja en O los dos campos: \vec g_A apunta hacia A, en el sentido de +\vec j, y \vec g_B hacia B, en el sentido de -\vec j. Tienen la misma dirección, el eje Y, y sentidos opuestos: se cumplen las dos condiciones que permiten la anulación. Falta imponer que tengan el mismo módulo.
Las distancias desde O son r_A = d y r_B = 4d. En forma vectorial:
\vec g_A = \frac{G\,m_A}{d^2}\,\vec j \qquad \vec g_B = -\frac{G\,m_B}{(4d)^2}\,\vec j = -\frac{G\,m_B}{16\,d^2}\,\vec jMétodo (a): ecuación vectorial. El campo total es nulo si:
\vec g_A + \vec g_B = \left(\frac{G\,m_A}{d^2} - \frac{G\,m_B}{16\,d^2}\right)\vec j = \vec 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{G\,m_A}{d^2} = \frac{G\,m_B}{16\,d^2} \quad\Longrightarrow\quad m_A = \frac{m_B}{16}Método (b): con la raíz. La relación de distancias es la raíz de la relación de masas:
\frac{r_A}{r_B} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{4d} = \frac14 = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}} \quad\Rightarrow\quad \frac{m_A}{m_B} = \frac{1}{16}Tiene sentido: el origen está cuatro veces más cerca de A que de B, así que A tiene que ser la masa pequeña.
Resultado: \dfrac{m_A}{m_B} = \dfrac{1}{16}, es decir, m_B = 16\,m_A.
Cuestión. Si el campo es nulo, ¿también lo es el potencial?
Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: «Si en un punto del espacio cerca de dos masas el campo gravitatorio es nulo, también lo será el potencial gravitatorio».
Ver solución
Es falsa. El campo es un vector, y dos vectores opuestos pueden sumar cero. El potencial es un escalar y cada masa aporta un término negativo:
V = -\frac{G\,m_1}{r_1} - \frac{G\,m_2}{r_2}Dos números negativos nunca suman cero, así que el potencial de dos masas es negativo en cualquier punto a distancia finita. Solo tiende a cero muy lejos de ellas.
Un ejemplo con los datos del problema 1: en el punto (0{,}414;\ 0)\ \text{m}, donde el campo es nulo, el potencial vale
V = -6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{5}{0{,}414} + \frac{10}{0{,}586}\right) = -1{,}94\cdot10^{-9}\ \text{J/kg}Resultado: la afirmación es falsa. Donde el campo es nulo, el potencial de dos masas sigue siendo negativo.
Errores típicos que veo en clase
- No entender qué significa «campo nulo». Muchos alumnos entienden la idea general, pero no ven que el campo total es una suma de vectores y que puede anularse sin que ninguno de los dos sea nulo. En el punto de campo nulo, cada masa sigue creando su campo: lo que vale cero es la suma. Por eso la condición se escribe como \vec g_1 + \vec g_2 = \vec 0, y no basta con igualar módulos.
- Dibujar el campo donde está la masa. El campo se dibuja en el punto donde lo calculas, y en estos problemas ese punto no te lo dan: es un punto ficticio, P, que tienes que definir tú después de leer el enunciado. Desde él salen los dos vectores, cada uno hacia su masa.
- No pensar «fuera de la caja». Muchos alumnos solo buscan el punto entre las dos masas, sin mirar a izquierda y derecha. Analiza las tres regiones: en gravitación, mirar fuera es justamente lo que te permite descartar con argumentos la solución que no vale.
¿Quién te explica esto? Soy Pablo Santos, profesor de Matemáticas y Física en activo. Estos ejercicios salen de mis clases de cada día, con los errores que de verdad veo cometer a mis alumnos. Más sobre mí.
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