Dibujo Técnico 1.º Bachillerato
Tienes una circunferencia de centro O y un punto P que está fuera de ella. Por P puedes trazar exactamente dos rectas tangentes a la circunferencia, y con regla y compás puedes localizarlas con precisión, sin necesidad de tantear. Esta guía es de 1.º de Bachillerato de Dibujo Técnico y se apoya en el teorema de Thales y en la construcción de la mediatriz, que ya has trabajado en ESO.
Paso 1. Une O y P
Traza el segmento que une el centro O con el punto exterior P.
Este segmento es la base de toda la construcción: necesitas encontrar su punto medio de forma exacta, así que empieza por tenerlo bien trazado.
Paso 2. Halla el punto medio M de OP
Para encontrar el punto medio exacto de OP construyes su mediatriz con compás:
- Abre el compás a más de la mitad de OP.
- Sin cambiar la apertura, traza un arco desde O y otro desde P.
- Los dos arcos se cortan en dos puntos. La recta que pasa por esos dos puntos es la mediatriz de OP.
- El punto donde la mediatriz cruza OP es el punto medio M.
Paso 3. Traza la circunferencia de centro M y radio MO
Pon la punta del compás en M y ábrelo hasta O. Traza la circunferencia completa.
Como M es el punto medio de OP, esa circunferencia tiene a OP como diámetro. Aquí entra el teorema de Thales: cualquier punto de una circunferencia ve el diámetro con un ángulo recto de 90^{\circ}. Eso es exactamente lo que necesitas para construir las tangentes.
Paso 4. Marca los puntos de tangencia T₁ y T₂
La circunferencia del paso 3 corta a la circunferencia original en dos puntos: llámalos T_1 y T_2.
Esos son los puntos de tangencia. Por el teorema de Thales, el ángulo \angle OT_{1}P = 90^{\circ}, lo que significa que OT_{1} es perpendicular a PT_{1}. Y la condición para que PT_{1} sea tangente a la circunferencia en T_1 es exactamente esa: la recta tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto.
Paso 5. Traza las rectas tangentes
Une P con T_1 y P con T_2. Esas son las dos tangentes.
Comprueba el resultado: el radio OT_1 debe quedar perpendicular a la tangente t_1, y lo mismo para OT_2 y t_2. Si marcas en el dibujo los ángulos rectos en T_1 y T_2, el trazado queda verificado.
Por qué funciona: el teorema de Thales
La justificación matemática es breve. Sea T un punto que pertenece a la vez a la circunferencia de Thales (la del paso 3, con diámetro OP) y a la circunferencia original (con centro O y radio r):
- Por el teorema de Thales inscrito en el semicírculo, el ángulo \angle OTP = 90^{\circ}, así que OT \perp PT.
- Como T está también en la circunferencia original, OT = r: es un radio.
- Una recta que pasa por un punto de la circunferencia y es perpendicular al radio en ese punto es, por definición, tangente a la circunferencia.
Las dos intersecciones T_1 y T_2 cumplen las dos condiciones a la vez, y por eso dan las dos tangentes exactas.
Errores típicos que veo en clase
Error 1: trazar la tangente «a ojo»
Lo más habitual es apoyar la regla en la circunferencia y trazar la recta directamente, sin buscar antes T_1 y T_2. El problema es que «a ojo» casi nunca sale una tangente exacta: la recta queda secante, es decir, corta la circunferencia en dos puntos en lugar de tocarla en uno solo.
El trazado correcto empieza siempre por localizar T_1 y T_2 con la circunferencia de Thales. Solo entonces unes P con cada punto de tangencia.
Error 2: tomar el punto medio M a ojo
El otro error habitual es marcar el punto M directamente con la regla, a ojo, sin construir la mediatriz. Si M no cae en el punto medio exacto de OP, la circunferencia auxiliar no tiene a OP como diámetro; sus intersecciones con la circunferencia original ya no son los puntos de tangencia.
La solución es construir siempre la mediatriz de OP con compás, como indica el paso 2. Así M queda en el punto medio exacto y la construcción es precisa.
¿Quién te explica esto? Soy Pablo Santos, profesor de Matemáticas y Física en activo. Estos ejercicios salen de mis clases de cada día, con los errores que de verdad veo cometer a mis alumnos. Más sobre mí.
¿Eres docente? Además de dar clase, ayudo a otros profesores y a centros educativos a organizar su trabajo y a sacar partido a herramientas como iDoceo. Descubre cómo puedo ayudarte.
