Cómo construir la figura homotética de un triángulo con razón positiva

Dibujo Técnico 1.º Bachillerato

En esta guía vas a aprender a construir la figura homotética de un triángulo cuando la razón es positiva. Solo necesitas escuadra, cartabón, compás y el teorema de Tales que ya sabes de Matemáticas. Es el punto de partida de todas las tangencias que veremos más adelante en la UD 4.

Qué es la homotecia: centro y razón

Una homotecia queda definida por dos cosas: un centro O y una razón k.

A cada punto A del plano le corresponde su imagen A' sobre la semirrecta \overrightarrow{OA}, de modo que:

k = \frac{OA'}{OA}

Fíjate bien en el orden: imagen entre original. Si lo inviertes obtienes la razón al revés, y la figura queda mal.

Cuando k > 0, la imagen queda al mismo lado de O que el original. Eso es una homotecia directa. En esta guía trabajamos con k = \tfrac{2}{3}: como 0 < k < 1, la figura se reduce y queda entre O y el triángulo original.

Cuando llegaremos al caso k < 0 (homotecia inversa), la imagen sale al otro lado de O y el triángulo aparece girado 180°, pero eso es tema de otra sesión.

Construcción paso a paso con k = \tfrac{2}{3}

Tenemos el triángulo ABC y el centro O fuera de él. Queremos construir A'B'C' con razón k = \tfrac{2}{3}.

Paso 1 · Semirrectas desde O

Traza tres semirrectas largas desde O: una por A, otra por B y otra por C. Las imágenes A', B' y C' estarán sobre estas semirrectas, más cerca de O que los vértices originales porque k < 1.

Paso 2 · Construir A' con el teorema de Tales

Aquí está el corazón de la construcción. Necesitas situar A' en \overrightarrow{OA} de modo que OA' = \tfrac{2}{3} \cdot OA. Como \tfrac{2}{3} no es un entero, no puedes medirlo directamente con el compás; usas Tales.

1. Semirrecta auxiliar. Desde O, traza una semirrecta en cualquier dirección que no coincida con \overrightarrow{OA}.
2. Divide en tres partes iguales. Con el compás, marca tres segmentos iguales sobre la auxiliar. Llama P_1, P_2 y P_3 a las divisiones (de más cerca a más lejos de O).

1. Une P_3 con A. Traza la recta P_3 A.

1. Paralela por P_2. Por P_2 traza una recta paralela a P_3 A. El punto donde corta a \overrightarrow{OA} es A'.

Por el teorema de Tales, \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OP_2}{OP_3} = \dfrac{2}{3} ✓

> Solo mides este punto con el compás. El resto de la construcción se hace con paralelas.

Paso 3 · Construir B' y C' con paralelas

Desde A':

• Traza una recta paralela a AB hasta que corte a \overrightarrow{OB}: ese punto es B'.
• Traza una recta paralela a AC hasta que corte a \overrightarrow{OC}: ese punto es C'.

Paso 4 · Control

Une A'B'C'. El lado B'C' debe quedar paralelo a BC: si no, hay un error en alguna de las paralelas del paso anterior. Compruébalo antes de dar la construcción por buena.

Por qué funciona: propiedades que usa la construcción

Puede parecer que estás haciendo pasos sueltos, pero cada uno se apoya en una propiedad de la homotecia:

La clave práctica: mides un solo punto (A', con Tales) y el resto lo construyes con paralelas. Un único error de paralelas cierra mal el triángulo, de ahí el control del paso 4.

Practica tú

Ejercicio 1. Ampliar un triángulo con k = \tfrac{3}{2}

Dibuja un triángulo ABC y un centro O fuera de él (como en la figura). Construye la figura homotética con k = \tfrac{3}{2}.

Ver solución

Como k = \tfrac{3}{2} > 1, la imagen es mayor que el original y queda más lejos de O que el triángulo dado. El método de Tales se aplica igual pero ahora A' está más allá de A:

1. Semirrectas largas desde O por cada vértice.
2. Semirrecta auxiliar desde O con tres partes iguales (P_1, P_2, P_3).
3. Une P_2 con A y traza la paralela por P_3: corta a \overrightarrow{OA} en A' con \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{3}{2} ✓
4. Por A', paralela a AB hasta \overrightarrow{OB} → B'; paralela a AC hasta \overrightarrow{OC} → C'.
5. Control: B'C' \parallel BC.

Nota el cambio respecto a la guía: para ampliar (k > 1) unes la división menor (P_2) con el vértice y la paralela pasa por la división mayor (P_3). Para reducir (k < 1) es al revés.

Ejercicio 2. Figura homotética de un cuadrilátero con k = \tfrac{2}{3}

Dibuja un cuadrilátero ABCD y un centro O (como en la figura). Construye la figura homotética con k = \tfrac{2}{3}.

Ver solución

El método es exactamente el mismo que en la guía. La única diferencia es que ahora hay cuatro vértices.

1. Semirrectas desde O por A, B, C y D.
2. Construye A' con Tales (divide en 3 partes, une P_3 con A, paralela por P_2).
3. Desde A': paralela a AB → B', paralela a AD → D'.
4. Desde B': paralela a BC → C' (comprueba que coincide con la paralela a DC desde D').
5. Control: el cuadrilátero A'B'C'D' debe tener todos sus lados paralelos a los del original.

Errores típicos que veo en clase

Medir k \cdot OA desde A en vez de desde O. Con k = 2 les sale el triple en vez del doble. Recuerda: toda distancia de la homotecia empieza en el centro. Compruébalo siempre midiendo OA'/OA con el compás.

Invertir el cociente. La razón es k = \dfrac{\text{imagen}}{\text{original}} = \dfrac{OA'}{OA}. Si la calculas al revés y k debería ser \tfrac{1}{2}, dibujas el doble en vez de la mitad.

Medir cada vértice con la regla y redondear. El triángulo final «no cierra» porque cada punto acumula un pequeño error. El método correcto: un solo punto medido (A' con Tales) y el resto con paralelas. Si B'C' no es paralela a BC en el control, busca el error de paralelas antes que volver a medir.