Si ya sabes localizar el punto de campo gravitatorio nulo entre dos masas, lo que necesitas para el caso eléctrico es casi lo mismo. Casi. La diferencia que lo cambia todo es que la carga eléctrica puede ser positiva o negativa. Eso añade un segundo caso que en gravitación no existe: cuando los signos son opuestos, el punto nulo queda fuera del segmento, del lado de la carga menor en valor absoluto. Esta pieza es para 2.º de Bachillerato; necesitas saber calcular el campo de una carga puntual y sumar vectores.
Lo que cambia respecto al campo gravitatorio
En gravitación, el campo \vec g siempre apunta hacia la masa que lo crea: la gravedad solo atrae. En el campo eléctrico \vec E, el sentido depende del signo de la carga:
- Si la carga es positiva, el campo se aleja de ella: las líneas salen de la carga.
- Si la carga es negativa, el campo apunta hacia ella: las líneas entran en la carga.
Esto cambia el aspecto del diagrama, pero la condición para que el campo sea nulo es la misma:
\vec E_1 + \vec E_2 = \vec 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \vec E_1 = -\vec E_2
Es decir, los dos campos tienen que tener el mismo módulo y sentidos opuestos. Y esa condición vectorial es la que decide en qué región puede estar el punto nulo.
El esquema previo: obligatorio antes de cualquier cálculo
Antes de escribir ninguna ecuación, dibuja:
- Las posiciones de las dos cargas en el eje.
- Un punto ficticio P en la región que vayas a analizar.
- Los vectores \vec E_1 y \vec E_2 en P, con su sentido correcto según el signo de cada carga.
Sin ese esquema es fácil equivocarse de signo y llegar a una solución que no tiene sentido físico.
Dónde puede estar el punto: depende de los signos
Hay dos casos y el análisis de regiones es distinto en cada uno.
Caso A: mismos signos. Las dos cargas son del mismo signo. En la región interior (entre las cargas), cada carga empuja al campo en sentido contrario desde su lado: los vectores \vec E_1 y \vec E_2 quedan enfrentados y pueden anularse. El punto nulo está entre las cargas, más cerca de la de menor valor absoluto, igual que en gravitación.
Caso B: signos opuestos. Una carga es positiva y la otra negativa. En este caso, dentro del segmento los dos campos apuntan en el mismo sentido y no se pueden anular. El punto nulo aparece fuera del segmento, del lado de la carga de menor valor absoluto.
Esa asimetría —punto interior para iguales signos, punto exterior para signos opuestos— es precisamente donde se rompe la transferencia desde la unidad de campo gravitatorio: en gravitación el punto siempre está entre las masas porque la gravedad solo atrae.
Problema 1. Cargas del mismo signo
(PAU Andalucía 1998.)
Dos cargas puntuales, q_1 = 3 \times 10^{-6}\ \text{C} y q_2 = 12 \times 10^{-6}\ \text{C}, están situadas, respectivamente, en los puntos A y B de una recta horizontal, separados 20 cm.
a) Razone cómo varía el campo electrostático entre los puntos A y B y represente gráficamente dicha variación en función de la distancia al punto A.
b) ¿Existe algún punto de la recta que contiene a las cargas en el que el campo sea cero? En caso afirmativo, calcule su posición.
Dato: K = 9{,}0 \times 10^9\ \text{N\,m}^2\,\text{C}^{-2}.
Ver solución
a) Cómo varía el campo entre A y B.
Las dos cargas son positivas, así que el campo de cada una se aleja de ella. Sea P un punto entre A y B. Desde P:
- \vec E_1 apunta hacia B (+\vec i): se aleja de q_1 que queda a la izquierda.
- \vec E_2 apunta hacia A (-\vec i): se aleja de q_2 que queda a la derecha.
El campo resultante es la diferencia de ambas contribuciones. Si tomamos la dirección de A a B como positiva:
E(x) = \frac{K\,q_1}{x^2} - \frac{K\,q_2}{(d - x)^2}, \qquad 0 < x < d- Cerca de A (x \to 0^+): E_1 \to \infty y domina; el campo resultante es muy grande y apunta hacia B.
- Al alejarnos de A: E_1 decrece y E_2 crece; el campo resultante disminuye.
- En algún punto: E_1 = E_2 y el campo resultante se anula.
- A partir de ahí: E_2 > E_1 y el campo invierte su sentido: ahora apunta hacia A.
- Cerca de B (x \to d^-): E_2 \to \infty; el campo resultante crece en módulo apuntando hacia A.
La componente de \vec E a lo largo de AB comienza en +\infty junto a A, desciende de forma monótona, pasa por cero en el punto nulo y se va a -\infty junto a B.
b) Posición del punto nulo.
Los datos en el SI: q_1 = 3 \times 10^{-6}\ \text{C}, q_2 = 12 \times 10^{-6}\ \text{C}, d = 0{,}20\ \text{m}.
Sea P(x,\,0) en la región entre las cargas (0 < x < 0{,}20\ \text{m}). El campo de q_1 apunta hacia B y el de q_2 apunta hacia A: sentidos opuestos. La condición \vec E_1 + \vec E_2 = \vec 0 es:
\frac{K\,q_1}{x^2} = \frac{K\,q_2}{(d-x)^2}Método a: raíz directa. Cancelamos K y tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros (válido porque x > 0 y d - x > 0):
\frac{d - x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = 2 \quad\Longrightarrow\quad d - x = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{d}{3} = \frac{0{,}20}{3} \approx 0{,}067\ \text{m}Método b: ecuación de segundo grado. Cancelamos K y quitamos denominadores:
3\,(d - x)^2 = 12\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad (d - x)^2 = 4\,x^2
Desarrollamos con d = 0{,}20\ \text{m} y agrupamos:
\begin{aligned}
0{,}04 - 0{,}40x + x^2 &= 4x^2 \\
3x^2 + 0{,}40x - 0{,}04 &= 0
\end{aligned}Discriminante: \Delta = (0{,}40)^2 + 4 \times 3 \times 0{,}04 = 0{,}16 + 0{,}48 = 0{,}64 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\Delta} = 0{,}80
Las dos soluciones son:
x_1 = \frac{-0{,}40 + 0{,}80}{6} = \frac{0{,}40}{6} \approx 0{,}067\ \text{m} \qquad x_2 = \frac{-0{,}40 - 0{,}80}{6} = -0{,}20\ \text{m}La solución x_2 = -0{,}20\ \text{m} cae en la Región I (a la izquierda de A). En esa región, q_1 y q_2 quedan ambas a la derecha de P: sus campos apuntan los dos hacia la derecha y se suman, no se anulan. Comprobamos con x_2:
E_1 = \frac{9{,}0 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-6}}{0{,}04} = 6{,}75 \times 10^5\ \text{N/C} \quad (+\vec i) \qquad E_2 = \frac{9{,}0 \times 10^9 \times 12 \times 10^{-6}}{0{,}16} = 6{,}75 \times 10^5\ \text{N/C} \quad (+\vec i)Los dos apuntan en el mismo sentido: se suman, no se anulan. Se descarta x_2.
Comprobación. En x = 0{,}067\ \text{m}:
E_1 = \frac{9{,}0 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-6}}{(0{,}067)^2} \approx 6{,}08 \times 10^6\ \text{N/C} \qquad E_2 = \frac{9{,}0 \times 10^9 \times 12 \times 10^{-6}}{(0{,}133)^2} \approx 6{,}08 \times 10^6\ \text{N/C}\vec E_1 = 6{,}08 \times 10^6\,\vec i\ \text{N/C} \qquad \vec E_2 = -6{,}08 \times 10^6\,\vec i\ \text{N/C} \qquad \vec E = \vec 0\ \checkmarkResultado: existe un punto de campo nulo entre A y B, a 6,67 cm de A y a 13,33 cm de B, más cerca de q_1 (la menor).
Problema 2. Cargas de distinto signo
(PAU Andalucía 2003 (reserva).)
Dos cargas q_1 = 10^{-6}\ \text{C} y q_2 = -4 \times 10^{-8}\ \text{C} están situadas a 2 m una de otra.
a) Analice, haciendo uso de las representaciones gráficas necesarias, en qué lugar a lo largo de la recta que las une se anula la intensidad del campo electrostático creado por estas cargas.
b) Determine la situación de dicho punto y calcule el potencial electrostático en él.
Dato: K = 9{,}0 \times 10^9\ \text{N\,m}^2\,\text{C}^{-2}.
Ver solución
Datos en el SI: q_1 = 10^{-6}\ \text{C}, |q_2| = 4 \times 10^{-8}\ \text{C}, d = 2{,}0\ \text{m}. Coloca q_1 en A(0,\,0) y q_2 en B(2,\,0)\ \text{m}.
a) En qué región se anula el campo.
El campo de q_1 (positiva) se aleja de ella; el campo de q_2 (negativa) apunta hacia ella. Analiza las tres regiones posibles:
Región I (x < 0, a la izquierda de A): el campo \vec E_1 apunta hacia la izquierda (se aleja de q_1) y \vec E_2 apunta hacia la derecha (se acerca a q_2). Sentidos opuestos: candidata.
Región II (0 < x < 2\ \text{m}, entre las cargas): \vec E_1 apunta hacia la derecha y \vec E_2 también apunta hacia la derecha (hacia q_2^- que queda a la derecha). Mismo sentido: el campo no puede anularse aquí.
Región III (x > 2\ \text{m}, a la derecha de B): \vec E_1 apunta hacia la derecha (se aleja de q_1) y \vec E_2 apunta hacia la izquierda (se acerca a q_2 que queda a la izquierda). Sentidos opuestos: candidata.
Quedan dos candidatas (Región I y Región III). Para descartar la que no vale, plantea la condición de campo nulo en cada una:
Región III (x > 2), sea P en x\ \text{m}:
\frac{K\,|q_1|}{x^2} = \frac{K\,|q_2|}{(x-2)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)^2}{x^2} = \frac{|q_2|}{|q_1|} = \frac{4 \times 10^{-8}}{10^{-6}} = 0{,}04\frac{x-2}{x} = 0{,}2 \quad\Longrightarrow\quad x - 2 = 0{,}2\,x \quad\Longrightarrow\quad 0{,}8\,x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2{,}5\ \text{m}\ \checkmarkRegión I (x < 0), sea P a distancia t > 0 de A (P en x = -t):
\frac{K\,|q_1|}{t^2} = \frac{K\,|q_2|}{(t+2)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{(t+2)^2}{t^2} = 0{,}04 \quad\Longrightarrow\quad \frac{t+2}{t} = 0{,}2t + 2 = 0{,}2\,t \quad\Longrightarrow\quad 0{,}8\,t = -2 \quad\Longrightarrow\quad t < 0 \quad\text{(imposible)}La Región I no tiene solución física. El punto nulo está en la Región III, a la derecha de B, del lado de la carga menor en valor absoluto (q_2).
b) Posición exacta y potencial.
De la Región III: x = 2{,}5\ \text{m} desde A, es decir, a 0,5 m de B y a 2,5 m de A.
Comprobación vectorial. En x = 2{,}5\ \text{m}:
E_1 = \frac{9{,}0 \times 10^9 \times 10^{-6}}{(2{,}5)^2} = \frac{9{,}0 \times 10^3}{6{,}25} = 1{,}44 \times 10^3\ \text{N/C} \quad (+\vec i)E_2 = \frac{9{,}0 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-8}}{(0{,}5)^2} = \frac{360}{0{,}25} = 1{,}44 \times 10^3\ \text{N/C} \quad (-\vec i)\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = \vec 0\ \checkmark
Potencial en el punto nulo. El potencial es una magnitud escalar; se suman los potenciales de ambas cargas con sus signos:
V = \frac{K\,q_1}{r_1} + \frac{K\,q_2}{r_2} = \frac{9{,}0 \times 10^9 \times 10^{-6}}{2{,}5} + \frac{9{,}0 \times 10^9 \times (-4 \times 10^{-8})}{0{,}5}V = 3{,}60 \times 10^3 - 7{,}20 \times 10^2 = 3600 - 720 = 2880\ \text{V}\boxed{V = 2{,}88 \times 10^3\ \text{V}}Nota el contraste con el caso de iguales signos: con cargas del mismo signo el punto nulo está entre las cargas; con signos opuestos queda fuera, del lado de la más pequeña. Es el efecto sin equivalente en la gravitación.
Errores típicos que veo en clase
- Calcular la fuerza entre las cargas. Este problema pide el campo eléctrico, no la fuerza de Coulomb entre q_1 y q_2. La ley de Coulomb no hace falta: el campo de cada carga en el punto P ya viene dado directamente por E = K|q|/r^2. Calcular la fuerza entre las dos cargas fuente es una distracción que no aporta nada al problema.
- Dibujar los vectores campo sobre las cargas, no en el punto P. Los vectores \vec E_1 y \vec E_2 que buscas son los que existen en el punto P, no en las posiciones de q_1 o q_2. Dibuja siempre el punto P en el esquema antes de cualquier otra cosa, y coloca los vectores saliendo de P, con el sentido correcto según el signo de cada carga.
- Errores al resolver la ecuación de segundo grado. Al desarrollar la condición de campo nulo aparecen errores de signo o de álgebra con frecuencia. Recuerda además que la ecuación cuadrática suele dar dos raíces y no las dos son válidas físicamente: hay que comprobar cuál está en la región correcta y descartar la otra con un argumento (cae fuera de la región válida, o da vectores en el mismo sentido en vez de opuestos).
¿Quién te explica esto? Soy Pablo Santos, profesor de Matemáticas y Física en activo. Estos ejercicios salen de mis clases de cada día, con los errores que de verdad veo cometer a mis alumnos. Más sobre mí.
¿Eres docente? Además de dar clase, ayudo a otros profesores y a centros educativos a organizar su trabajo y a sacar partido a herramientas como iDoceo. Descubre cómo puedo ayudarte.
