En la pieza sobre factorización en primos aprendiste a descomponer un número en sus factores primos. Ahora vas a usar esa herramienta —y también un método más directo— para encontrar todos los divisores de un número sin que se te escape ninguno. Para seguir esta guía necesitas saber qué es un divisor y tener claras las reglas de divisibilidad del 2, el 3 y el 5.
Método 1. Por parejas de factores
Los divisores de un número siempre aparecen en parejas. Si d divide exactamente a n, entonces n \div d también divide a n, y los dos forman la pareja (d,\ n \div d).
Para encontrar todas las parejas sin saltarte ninguna:
- Empiezas con la pareja (1,\ n).
- Pruebas 2, 3, 4, \ldots uno a uno y compruebas si dividen al número (usando las reglas de divisibilidad o haciendo la división).
- Cuando la división es exacta, apuntas la nueva pareja.
- Paras en cuanto el número que pruebas es igual o mayor que el cociente: en ese punto ya has encontrado todas las parejas.
Ejercicio 1. Divisores de 36
Encuentra todos los divisores de 36.
Ver solución
Datos: el número es n = 36.
Qué me preguntan: encontrar todos sus divisores.
Operaciones:
La primera pareja siempre es (1,\ 36).
Pruebo con 2: el criterio del 2 me dice que 36 es par, así que 2 sí divide.
2 \times \textcolor{#c4130d}{18} = 36 \quad \longrightarrow \quad \text{pareja: } (2,\ 18)Pruebo con 3: criterio del 3 → 3 + 6 = 9, y 9 es divisible por 3, así que 3 sí divide.
3 \times \textcolor{#c4130d}{12} = 36 \quad \longrightarrow \quad \text{pareja: } (3,\ 12)Pruebo con 4: 36 \div 4 = 9 exacto.
4 \times \textcolor{#c4130d}{9} = 36 \quad \longrightarrow \quad \text{pareja: } (4,\ 9)Pruebo con 5: el criterio del 5 me dice que 36 no termina en 0 ni en 5, así que 5 no divide.
Pruebo con 6: 36 \div 6 = 6 exacto.
6 \times \textcolor{#c4130d}{6} = 36 \quad \longrightarrow \quad \text{pareja: } (6,\ 6)Aquí el número probado (6) es igual al cociente (6). Eso significa que hemos llegado al final: cualquier divisor mayor que 6 ya aparece como segundo elemento de una pareja anterior.
Reflexión: ¿puede faltar algún divisor? No. Si existiera un divisor d > 6, entonces 36 \div d < 6, y ese cociente ya lo habríamos encontrado antes en la lista.
Resultado: los divisores de 36 son
1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad 6,\quad 9,\quad 12,\quad 18,\quad 36
En total, 9 divisores.
Método 2. Desde la factorización en primos
Si ya tienes la factorización de un número, puedes construir sus divisores de forma sistemática. El razonamiento es el siguiente: un divisor de n se obtiene tomando cada factor primo con cualquier exponente entre 0 y el que aparece en la factorización.
Por ejemplo, si n = p^a \times q^b, los divisores son todos los productos p^i \times q^j con 0 \leq i \leq a y 0 \leq j \leq b. En total habrá (a+1) \times (b+1) divisores.
Antes de buscarlos, comprueba la factorización multiplicando los factores entre sí: el resultado tiene que ser el número de partida. Eso es la comprobación por recomposición.
Ejercicio 2. Divisores de 180
Encuentra todos los divisores de 180 a partir de su factorización.
Ver solución
Datos: 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 (factorización ya conocida).
Qué me preguntan: encontrar todos sus divisores.
Operaciones:
Comprobación por recomposición: antes de nada, verifico que la factorización es correcta multiplicando sus factores:
\textcolor{#c4130d}{2^2 \times 3^2 \times 5} = 4 \times 9 \times 5 = 180 \quad \checkmarkNúmero de divisores: los exponentes son 2, 2 y 1, así que habrá
(2+1) \times (2+1) \times (1+1) = 3 \times 3 \times 2 = \textcolor{#c4130d}{18}\ \text{divisores}Construcción sistemática: combino todas las posibilidades de cada factor primo.
| 2^0 = 1 | 2^1 = 2 | 2^2 = 4 | |
|---|---|---|---|
| 3^0 \times 5^0 = 1 | 1 | 2 | 4 |
| 3^1 \times 5^0 = 3 | 3 | 6 | 12 |
| 3^2 \times 5^0 = 9 | 9 | 18 | 36 |
| 3^0 \times 5^1 = 5 | 5 | 10 | 20 |
| 3^1 \times 5^1 = 15 | 15 | 30 | 60 |
| 3^2 \times 5^1 = 45 | 45 | 90 | 180 |
Reflexión: la tabla tiene 6 \times 3 = 18 celdas, que coincide con el número de divisores calculado antes. Para verificar uno al azar: 30 = 2 \times 3 \times 5, y 180 \div 30 = 6 exacto \checkmark.
Resultado: los divisores de 180, ordenados, son
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 9,\ 10,\ 12,\ 15,\ 18,\ 20,\ 30,\ 36,\ 45,\ 60,\ 90,\ 180
En total, 18 divisores.
Errores típicos que veo en clase
Terminas de hacer la tabla de divisiones sucesivas y llegas al 1, pero no escribes el paso final: el número igual a sus factores con sus exponentes —por ejemplo, 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5—. Esa última línea es imprescindible: sin ella, la factorización no está terminada y no puedes usarla para construir los divisores.
Al descomponer un número, divides por 4, por 6 o por 9 para ir más rápido. El problema es que ninguno de esos números es primo, así que la descomposición queda incompleta: si haces 180 \div 4 = 45, el 45 sigue sin descomponerse (habría que hacer 180 \div 2 = 90, 90 \div 2 = 45, …). En la tabla de factorización solo pueden aparecer números primos: 2, 3, 5, 7, 11…
¿Quién te explica esto? Soy Pablo Santos, profesor de Matemáticas y Física en activo. Estos ejercicios salen de mis clases de cada día, con los errores que de verdad veo cometer a mis alumnos. Más sobre mí.
¿Eres docente? Además de dar clase, ayudo a otros profesores y a centros educativos a organizar su trabajo y a sacar partido a herramientas como iDoceo. Descubre cómo puedo ayudarte.
