Fuerza de Coulomb con superposición: ejercicio resuelto

Física 2.º Bachillerato

La ley de Coulomb tiene la misma forma que la ley de gravitación universal: la fuerza entre dos cargas es proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Pero hay una diferencia decisiva: las cargas pueden ser positivas o negativas. Eso hace que la fuerza pueda ser atractiva (cargas de distinto signo) o repulsiva (cargas del mismo signo), y que el sentido de cada fuerza dependa del signo de las cargas. Por eso, antes de escribir cualquier fórmula, el primer paso es siempre el esquema.

Necesitas conocer la ley de gravitación universal y los vectores en el plano. Lo que cambia aquí respecto a gravitación es el signo de las cargas y la posibilidad de repulsión.

El esquema es el primer paso, siempre

Ante un problema de Coulomb con varias cargas, el procedimiento es:

1. Dibuja el esquema con la posición de todas las cargas y el punto o la carga sobre la que quieres calcular la fuerza.
2. Analiza los signos: para cada par de cargas, decide si la fuerza es atractiva o repulsiva y dibuja la flecha en el sentido correcto.
3. Solo después escribe las expresiones y calcula los módulos.

Si te saltas el esquema y aplicar la fórmula directamente, los signos de la fuerza resultante saldrán mal casi con toda seguridad.

Problema 1

Las cargas Q_1 = +4\ \mu\text{C}, Q_2 = -6\ \mu\text{C} y Q_3 = +3\ \mu\text{C} están situadas sobre el eje OX, en las posiciones x_1 = 0, x_2 = 20\ \text{cm} y x_3 = 50\ \text{cm}, respectivamente. Calcula el módulo, la dirección y el sentido de la fuerza resultante sobre Q_2.

(Ejercicio propio adaptado, tipo Selectividad Andalucía. Dato: k = 9 \times 10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2.)

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Datos:

Q_1 = +4\ \mu\text{C} = +4 \times 10^{-6}\ \text{C} \qquad Q_2 = -6\ \mu\text{C} = -6 \times 10^{-6}\ \text{C} \qquad Q_3 = +3\ \mu\text{C} = +3 \times 10^{-6}\ \text{C}

x_1 = 0 \qquad x_2 = 0{,}20\ \text{m} \qquad x_3 = 0{,}50\ \text{m}

k = 9 \times 10^9\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}

Qué me preguntan: la fuerza resultante sobre Q_2, es decir, la suma vectorial de la fuerza que ejerce Q_1 sobre Q_2 más la que ejerce Q_3 sobre Q_2.

Operaciones:

Paso 1. Esquema y análisis de signos.

Q_1 es positiva y Q_2 es negativa → signos opuestos → fuerza atractiva: Q_2 se ve atraída hacia Q_1, de modo que \vec{F}_{12} apunta hacia -x.

Q_3 es positiva y Q_2 es negativa → signos opuestos → fuerza atractiva: Q_2 se ve atraída hacia Q_3, de modo que \vec{F}_{32} apunta hacia +x.

Las dos fuerzas van en sentidos opuestos, así que la fuerza resultante será la diferencia de sus módulos.

Paso 2. Distancias.

r_{12} = |x_2 - x_1| = |0{,}20 - 0| = 0{,}20\ \text{m}

r_{32} = |x_3 - x_2| = |0{,}50 - 0{,}20| = 0{,}30\ \text{m}

Paso 3. Módulos de las fuerzas.

|\vec{F}_{12}| = k \frac{|Q_1||Q_2|}{r_{12}^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6} \times 6 \times 10^{-6}}{(0{,}20)^2} = \frac{9 \times 4 \times 6 \times 10^{-3}}{0{,}04} = \frac{\textcolor{#c4130d}{216 \times 10^{-3}}}{0{,}04} = 5{,}40\ \text{N}

|\vec{F}_{32}| = k \frac{|Q_3||Q_2|}{r_{32}^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-6} \times 6 \times 10^{-6}}{(0{,}30)^2} = \frac{9 \times 3 \times 6 \times 10^{-3}}{0{,}09} = \frac{\textcolor{#c4130d}{162 \times 10^{-3}}}{0{,}09} = 1{,}80\ \text{N}

Paso 4. Suma vectorial.

Del esquema: \vec{F}_{12} va hacia -x y \vec{F}_{32} va hacia +x, así que:

\vec{F} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{32} = -5{,}40\ \vec{i}\ \text{N} + 1{,}80\ \vec{i}\ \text{N} = \textcolor{#c4130d}{-3{,}60\ \vec{i}\ \text{N}}

Reflexión: el módulo de \vec{F}_{12} es mayor que el de \vec{F}_{32} por dos razones: Q_1 está más cerca de Q_2 (20 cm frente a 30 cm) y el producto |Q_1||Q_2| es mayor que |Q_3||Q_2| (24 frente a 18 en \mu\text{C}^2). La resultante neta apunta hacia Q_1, lo que tiene sentido físico: la atracción de Q_1 gana a la de Q_3.

Resultado:

\vec{F} = -3{,}60\ \vec{i}\ \text{N}

Módulo 3{,}60\ \text{N}, dirección eje x, sentido negativo (hacia Q_1).

Errores típicos que veo en clase

Ante tres cargas, calculas la fuerza entre Q_1 y Q_2 —las dos que no son el objetivo— y te olvidas de Q_3, que es la carga sobre la que te preguntan. El principio de superposición dice que sobre Q_3 actúan Q_1 y Q_2 de forma independiente. Antes de calcular, identifica siempre la carga objetivo y calcula la fuerza que cada una de las otras ejerce sobre ella por separado.

Calculas el módulo correctamente, pero no miras el signo de las cargas para decidir si la fuerza es atractiva o repulsiva. Por eso el sentido del vector te sale equivocado. El esquema previo no es opcional: dibuja el sentido de cada fuerza con una flecha antes de escribir ningún número.

Usas los signos para decidir que una fuerza es atractiva y dibujas bien la flecha en el esquema, pero luego, al calcular el módulo, sustituyes la carga negativa con su signo en la fórmula y el resultado te da negativo. Los signos de las cargas ya han hecho su trabajo en el esquema: en la fórmula del módulo, F = k|Q_1||Q_2|/r^2, usa siempre los valores absolutos.