Campo gravitatorio creado por dos masas: ejercicios resueltos con vectores

En este tipo de ejercicio te dan dos masas puntuales y te piden el campo gravitatorio que crean juntas en un punto. Es uno de los problemas más repetidos en el bloque de gravitación de la PAU de Física de 2.º de Bachillerato. Antes de empezar necesitas saber sumar vectores por componentes y conocer la ley de gravitación universal. Aquí verás el método completo con un ejercicio desarrollado al detalle y dos más para practicar.

El método: cada masa por separado y después se suman

El campo gravitatorio en un punto P es la suma de los campos que crea cada masa por separado. A esto se le llama principio de superposición:

\vec g = \vec g_1 + \vec g_2

Son vectores, así que no se suman los módulos: cada campo se descompone en sus componentes x e y, y después se suman las componentes. Para cada masa haces tres cosas:

• El módulo. La masa m_1, a una distancia r_1 del punto, crea un campo de módulo

g_1 = \frac{G\,m_1}{r_1^2}

• El ángulo de inclinación \alpha que forma el vector con la horizontal. Sale del triángulo rectángulo que dibujas en el esquema entre el punto y la masa: \tan\alpha = \dfrac{\text{cateto vertical}}{\text{cateto horizontal}}.
• La descomposición con seno y coseno:

g_{1x} = g_1\cos\alpha \qquad g_{1y} = g_1\sin\alpha

El signo de cada componente lo pones mirando el esquema. El campo apunta hacia la masa que lo crea: si apunta hacia la izquierda, g_x es negativa; si apunta hacia abajo, g_y es negativa.

Los pasos, en este orden:

1. Haz el esquema. Coloca las masas y el punto, y dibuja cada \vec g desde el punto donde calculas el campo, apuntando hacia la masa que lo crea. Marca el ángulo de cada vector con la horizontal. El esquema puntúa por sí solo y te deja ver hacia dónde tiene que salir el resultado.
2. Pasa los datos al SI: distancias en metros y masas en kilogramos.
3. Calcula cada campo por separado: la distancia, el módulo, el ángulo y las componentes, con su signo.
4. Suma las componentes: todas las x juntas y todas las y juntas, y escribe el resultado con \vec i y \vec j.
5. Da el resultado en forma vectorial y con unidades, \text{N/kg}, y añade el módulo si te lo piden. No redondees los resultados intermedios: redondea solo al final.

Problema 1. Dos masas y el punto medio

PAU Andalucía 2015, convocatoria de reserva (apartado a).

Dos masas, m_1 = 50\ \text{kg} y m_2 = 100\ \text{kg}, están situadas en los puntos A(0, 6) y B(8, 0) m, respectivamente. Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre una masa m_3 = 20\ \text{kg} situada en el punto P(4, 3) m y calcule la fuerza resultante que actúa sobre ella. ¿Cuál es el valor del campo gravitatorio en este punto?

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

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1. Esquema. Los dos vectores salen de P: \vec g_1 apunta hacia A y \vec g_2 hacia B. Marca el ángulo \alpha que forma cada uno con la horizontal.

Antes de calcular nada, fíjate en el esquema: P está justo en el punto medio de AB, así que \vec g_1 y \vec g_2 tienen la misma dirección y sentidos opuestos. Como m_2 es el doble que m_1 y está a la misma distancia, \vec g_2 mide el doble que \vec g_1. El campo total tiene que apuntar hacia B.

2. Unidades. Las distancias ya están en metros y las masas en kilogramos: no hay que cambiar nada.

3. Campo de cada masa. Para la masa m_1, en A: de P a A hay 4\ \text{m} en horizontal (hacia la izquierda) y 3\ \text{m} en vertical (hacia arriba).

r_1 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \text{m} \qquad g_1 = \frac{G\,m_1}{r_1^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 50}{5^2} = 1{,}334\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}

\tan\alpha = \frac{3}{4} \quad\Rightarrow\quad \alpha = 36{,}87^\circ

\vec g_1 apunta hacia la izquierda y hacia arriba: g_{1x} es negativa y g_{1y}, positiva.

\begin{aligned} g_{1x} &= -g_1\cos\alpha = -1{,}334\cdot10^{-10}\cdot\cos 36{,}87^\circ = -1{,}067\cdot10^{-10}\ \text{N/kg} \\ g_{1y} &= g_1\sin\alpha = 1{,}334\cdot10^{-10}\cdot\sin 36{,}87^\circ = 0{,}800\cdot10^{-10}\ \text{N/kg} \end{aligned}

Para la masa m_2, en B: de P a B hay 4\ \text{m} hacia la derecha y 3\ \text{m} hacia abajo. La distancia es la misma, r_2 = 5\ \text{m}, y el ángulo también, \alpha = 36{,}87^\circ.

g_2 = \frac{G\,m_2}{r_2^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 100}{5^2} = 2{,}668\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}

\vec g_2 apunta hacia la derecha y hacia abajo: g_{2x} es positiva y g_{2y}, negativa.

\begin{aligned} g_{2x} &= g_2\cos\alpha = 2{,}668\cdot10^{-10}\cdot\cos 36{,}87^\circ = 2{,}134\cdot10^{-10}\ \text{N/kg} \\ g_{2y} &= -g_2\sin\alpha = -2{,}668\cdot10^{-10}\cdot\sin 36{,}87^\circ = -1{,}601\cdot10^{-10}\ \text{N/kg} \end{aligned}

4. Superposición. Sumamos las componentes x por un lado y las y por otro:

\begin{aligned} g_x &= g_{1x} + g_{2x} = (-1{,}067 + 2{,}134)\cdot10^{-10} = 1{,}067\cdot10^{-10}\ \text{N/kg} \\ g_y &= g_{1y} + g_{2y} = (0{,}800 - 1{,}601)\cdot10^{-10} = -0{,}800\cdot10^{-10}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\vec g = \left(1{,}067\,\vec i - 0{,}800\,\vec j\right)\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}

|\vec g| = \sqrt{1{,}067^2 + 0{,}800^2}\cdot10^{-10} = 1{,}33\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}

Cuadra con lo que anticipaba el esquema: el campo apunta hacia B y mide lo mismo que \vec g_1, porque \vec g_2 era el doble y en sentido contrario.

5. Fuerza sobre m_3. Cada fuerza es m_3 por su campo, así que en el esquema las fuerzas se dibujan igual que los campos: \vec F_1 hacia A, \vec F_2 hacia B y la resultante hacia B.

\vec F_1 = m_3\,\vec g_1 = \left(-2{,}13\,\vec i + 1{,}60\,\vec j\right)\cdot10^{-9}\ \text{N} \qquad \vec F_2 = m_3\,\vec g_2 = \left(4{,}27\,\vec i - 3{,}20\,\vec j\right)\cdot10^{-9}\ \text{N}

\vec F = m_3\,\vec g = 20\cdot\left(1{,}067\,\vec i - 0{,}800\,\vec j\right)\cdot10^{-10} = \left(2{,}13\,\vec i - 1{,}60\,\vec j\right)\cdot10^{-9}\ \text{N}

Resultado: \vec F = \left(2{,}13\,\vec i - 1{,}60\,\vec j\right)\cdot10^{-9}\ \text{N}, de módulo 2{,}67\cdot10^{-9}\ \text{N}, y \vec g = \left(1{,}07\,\vec i - 0{,}800\,\vec j\right)\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}, de módulo 1{,}33\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}.

Problema 2. Dos masas sobre los ejes

PAU Andalucía 2022 (apartado b.i).

Dos masas de 2 y 4\ \text{kg} se sitúan en los puntos A(2, 0) m y B(0, 3) m, respectivamente. Determine el campo y el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

Ver solución

Esquema. Desde O, \vec g_A apunta hacia A (eje X positivo) y \vec g_B hacia B (eje Y positivo). El campo total queda en el primer cuadrante.

Los datos ya están en unidades del SI.

Campo de cada masa. Cuando la masa está sobre un eje, no hace falta descomponer. El ángulo es 0^\circ o 90^\circ y el vector tiene una sola componente:

r_A = 2\ \text{m} \qquad g_A = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 2}{2^2} = 3{,}335\cdot10^{-11}\ \text{N/kg} \quad\Rightarrow\quad \vec g_A = 3{,}335\cdot10^{-11}\,\vec i\ \text{N/kg}

r_B = 3\ \text{m} \qquad g_B = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 4}{3^2} = 2{,}964\cdot10^{-11}\ \text{N/kg} \quad\Rightarrow\quad \vec g_B = 2{,}964\cdot10^{-11}\,\vec j\ \text{N/kg}

Superposición. Cada campo aporta una componente:

\vec g = \vec g_A + \vec g_B = \left(3{,}335\,\vec i + 2{,}964\,\vec j\right)\cdot10^{-11}\ \text{N/kg} \qquad |\vec g| = 4{,}46\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}

Potencial. El potencial es un escalar: también se aplica la superposición, pero se suman números, sin componentes y sin flecha.

V = -\frac{G\,m_A}{r_A} - \frac{G\,m_B}{r_B} = -6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{2}{2} + \frac{4}{3}\right) = -1{,}56\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}

Resultado: \vec g = \left(3{,}34\,\vec i + 2{,}96\,\vec j\right)\cdot10^{-11}\ \text{N/kg} y V = -1{,}56\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}.

Problema 3. Dos masas iguales y un triángulo equilátero

PAU Andalucía 2024, convocatoria de reserva (apartado b.i).

Un triángulo equilátero de lado 6\ \text{m} se sitúa con su base sobre el eje OX. En los dos vértices de dicha base se sitúan dos partículas puntuales de masa 3\ \text{kg}. Calcule razonadamente el campo gravitatorio creado por las dos masas en el tercer vértice, ayudándose de un esquema.

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

Ver solución

Coordenadas. El enunciado no las da, así que las elegimos: A(0, 0) y B(6, 0) m. El tercer vértice C está encima del punto medio de la base, a una altura h = 6\cdot\sin 60^\circ = 3\sqrt3\ \text{m} \approx 5{,}196\ \text{m}. Por tanto, C(3, 3\sqrt3) m.

Esquema. Desde C, \vec g_1 apunta hacia A y \vec g_2 hacia B.

Las dos masas son iguales y están a la misma distancia de C, así que \vec g_1 y \vec g_2 miden lo mismo. Sus componentes horizontales son opuestas y se anulan. Las verticales apuntan las dos hacia abajo y se suman. El resultado tiene que salir en la dirección de -\vec j.

Campo de cada masa. Las dos distancias son el lado del triángulo, r_1 = r_2 = 6\ \text{m}, y los dos módulos valen:

g_1 = g_2 = \frac{G\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 3}{6^2} = 5{,}5583\cdot10^{-12}\ \text{N/kg}

Guarda una cifra más en este resultado intermedio: así no se acumula el error de redondeo.

Aquí no hace falta calcular el ángulo con la tangente: los lados de un triángulo equilátero forman 60^\circ con la base, así que los dos vectores están inclinados \alpha = 60^\circ respecto a la horizontal.

\vec g_1 apunta hacia la izquierda y hacia abajo, así que sus dos componentes son negativas:

\begin{aligned} g_{1x} &= -g_1\cos 60^\circ = -5{,}5583\cdot10^{-12}\cdot \tfrac12 = -2{,}779\cdot10^{-12}\ \text{N/kg} \\ g_{1y} &= -g_1\sin 60^\circ = -5{,}5583\cdot10^{-12}\cdot \tfrac{\sqrt3}{2} = -4{,}814\cdot10^{-12}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\vec g_2 apunta hacia la derecha y hacia abajo: g_{2x} es positiva y g_{2y}, negativa.

\begin{aligned} g_{2x} &= g_2\cos 60^\circ = 2{,}779\cdot10^{-12}\ \text{N/kg} \\ g_{2y} &= -g_2\sin 60^\circ = -4{,}814\cdot10^{-12}\ \text{N/kg} \end{aligned}

Superposición.

\begin{aligned} g_x &= -2{,}779\cdot10^{-12} + 2{,}779\cdot10^{-12} = 0 \\ g_y &= -4{,}814\cdot10^{-12} - 4{,}814\cdot10^{-12} = -9{,}63\cdot10^{-12}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\vec g = -9{,}63\cdot10^{-12}\,\vec j\ \text{N/kg}

La componente \vec i se anula, como anticipaba la simetría del esquema.

Resultado: \vec g = -9{,}63\cdot10^{-12}\,\vec j\ \text{N/kg}, dirigido desde C hacia el punto medio de la base.

Errores típicos que veo en clase

• No hacer el esquema con los vectores. Sin dibujo no sabes hacia dónde tiene que salir el resultado y no puedes detectar un signo cambiado. Además, en la PAU el esquema puntúa por sí solo.
• Dibujar \vec g desde la masa en lugar de desde el punto. El campo se calcula en un punto: el vector nace en ese punto y apunta hacia la masa que lo crea. Si lo dibujas saliendo de la masa, te salen todos los signos al revés.
• No dar el resultado en forma vectorial. Te piden el campo, no solo su módulo: el resultado completo es \vec g = (\ldots)\,\vec i + (\ldots)\,\vec j, con su flecha. El módulo se añade si te lo piden.
• Olvidar las unidades. Un 1{,}33\cdot10^{-10} a secas no es un resultado: el campo va en \text{N/kg}, la fuerza en \text{N} y el potencial en \text{J/kg}.
• No pasar los datos al sistema internacional. Si te dan distancias en km o en cm, o masas en gramos, conviértelas antes de usar G. Si no, el resultado sale desviado en una potencia de diez.